从电容谈起
还记得中学物理中学过的电容不，有的会想起C这个符号，有的会记起阻直流通交流，那我们从电容器最基本的定义开始：电容是指物体容纳电荷的能力，简单点说就是，能储存多少电荷量，可以把电容器想象成一个储存电荷的一个大池子，电荷可以通过导线不停地流入或者流出这个池子，池子越大，那储存的电荷量也就越多，也就意味着电容越大，如果1所示。
图1.电容与水池对比图
电荷在电容里累积的电荷量为Q（假设电容初始电荷为0），累积的电荷在电容两端产生电势差称为电容电压U，U与Q的关系是一个比例关系C（就是电容值）。如果简单理解的话，Is电流源相当于水泵，Q相当于池子的水量，U相当于水深，当水深U一定的时候，容纳的水量越多，说明池子越大，也就是意味着电容值C越大。I电流就相当于水管里的流速，I越大，说明往池子里充水速度越快，这就是Q变化率越快。于是把刚刚这段话变成公式，我们得到下面的式子：
其中：Q对应电荷量，U对应电容电压，I对应电流。
在这里电流源Is给电容C充电的电路里，如果一切条件理想化，那电容上的电压U会一直上升到无穷大，电容越大上升的速度越慢，Is越大，上升的速度越快。
RC与微分方程
如果我们将电流源Is变为电压源Us，同时在回路里加入一个电阻R，如图2所示，现在想问一下，电容C上的电压会怎么变化呢？？
图2.RC充电电路
我们一步步来思考这个问题，首先，如果R为0的话，那会怎么样？电压源与电容并联，那电容会瞬间从0充满电压Us。下面加入电阻R，刚开始电容上电压为0，整个回路的充电电流就是Us/R，随着电容的电压Uc升高，这个充电电流会慢慢变小（Us-Uc）/R，也就是说随着电容电压的升高，充电的速度会越来越慢，最终稳定在Us电压，如果手动画一下的话，那大概走势如图3所示。是不是很像指数函数的变化，那我们就开始一步步分析吧。
图3.电容电压变化图
如果用数学去表达刚刚描述这个动态过程的变化，该怎么做呢？？首先电源电压等于电阻上的电压加上电容电压，然后电阻上的电流等于电容的电流，电容上的电流等于电容电压的变化率与电容之积，将这几句话用数学表达一下就是下面的数学公式。
有没有发现呀？？？微分方程出来了，对应一个RC电路。关于微分方程的求解，高等数学里专门写了一章去求微分方程的解，总之噼里啪啦一大堆，最后做题的时候，一顿代公式，什么齐次非齐次通解之类的，甚是烦恼，最后终于算出下面的解来：
玩电子，怎么可能会被数学搞爬下，有没有什么好方法去简化这个求解过程呢，当然有啦，工程师更多是靠直觉，而非复杂计算。
电容Uc最终的稳态电压是Us，Uc的动态变化趋势，R变大那阻碍能力更强，Uc会变慢，C变大的话那意味着池子会变得更大，这个Uc也会变慢，这里就存在一个时间常数跟R和C都相关，对于任何一阶RC电路我们计算出RC这个时间常数，就可以预估系统的变化趋势，具体是怎样做呢？？我们下面就开始用Simulink仿真玩。
设定：Us=1V，R=1k欧，C=1uF，Uc初始电压=0，Uc电压的动态变化过程如图3所示，这里RC= 1ms，这个称为时间常数，1倍时间常数Uc达到0.6513Us，2倍时间常数到0.8784Us，3倍时间常数到0.9576Us，4倍时间常数到0.9852Us。
大多数电子工程师不会去记那些微分方程的求解，而是记住这几个典型的数值，比如1倍时间常数到达稳态值的65%左右。
这就是工程师和数学家的区别，那有的同学可能会问，既然那些公式没啥用，那要他们干什么，这个不要急，形式化的公式会让计算机帮助我们去做仿真计算，下面我们就来介绍。
图3.RC动态过程
RC与差分方程
RC一阶电路，我们在计算机里如何仿真？？？
Uc的导数，还记不记得，我们高等数学里是怎么算的？？？
在高等数学里，利用极限来得到导数，当我们用计算机仿真的时候，是反向来用把导数离散化，这样我们就可以把第一个式子离散化为下式
看到上面的式子了不，里面我们知道t时刻Uc的值，就可以通过t时刻的值，去计算t+deltaT时候的Uc值，这就是差分仿真模型。
于是根据上面的式子，我们就可以用matlab写代码仿真RC电路的动态过程，如图4所示。
R=1e3;%1000欧
C=1e-6;%1uF
dt=100e-6;%delta T 时间
T=5e-3;%仿真时间长度
t=0:dt:T;%时间轴
Us=ones(length(t),1);%1V
Uc=zeros(length(t),1);
for k=1:1:length(t)-1
Uc(k+1)=Uc(k)+(Us(k)-Uc(k))*dt/(R*C);
end
plot(t,Uc)
grid on
xlabel('t/s')
ylabel('Uc/V')
图4.RC电路动态仿真图
刚刚离散化的方程就是差分方程，整个计算机仿真动态系统都是基于这个差分方程来做的，如果想仿真精确一点，把仿真步长dt减小一点，但是意味着仿真时间会加长，如果想仿真快点，那就将dt设置长一些。
不管多么复杂的电路，都可以这样仿真，整个Simulink的底层仿真机制，也是这样玩的，都是基于差分方程做，分定步长和变步长两种玩法。
总结
我们用RC电路把最基本的微分方程求解，RC电路的动态响应，仿真过程，都进行了简单的汇总，如果条件允许的话，大家可以用真实的电阻和电容进行测试，并用示波器观察，会更有意思。我们这里的Us一直是恒定值，如果我们将Us改为动态变化的信号，会发生什么反应呢？？？敬请看下一节，我们将看到复数的出现，以此简化我们的计算。